Amdahl 定律

定律的内容

Amdahl 定律用来考量提升系统的某一部分对提升整个系统的影响。换句话说，提升了系统中某个模块的效率后，整个系统的效率提升了多少呢？这就可以用 Amdahl 定律计算。

下面要输入一堆数学公式。

考虑，如果我们提升了系统中的一个模块。不妨具体点，提升了这个模块的运行速度。这个模块占整个系统的比例是 $\alpha$，提升的效果是原来的 $k$ 倍。那么，新系统的运行时间可以这样计算

$$
T_{new} = (1 - \alpha)T_{old} + (\alpha T_{old}) / k
= T_{old}[(1 - \alpha) + \alpha / k]
$$

解释一下，$T_{new}$ 的构成是，$(1 - \alpha)$ 的部分没有修改，还是原来的时间；$\alpha$ 部分的时间减少为原来的 $\frac{1}{k}$。

这样，用 $S = T_{old} / T_{new}$ 来表示加速比，得到

$$
S = \frac{1}{(1 - \alpha) + \alpha / k}
$$

假如你是一个卡车司机，从相距 2,500km 的 A 地到 B 地运货，平均速度是 100 km/h，需要 25 小时完成运输。

这里，提升的指标是时间。所有和倍数相关的量都是时间。

先解决第一问。代入公式计算一下，在 X 段的时间提升是

$$
k = \frac{15h}{10h} = 1.5
$$

S 段占全程的比例 $\alpha = 1500 / 2500 = 0.6$。代入 Amdahl 定律

$$
S = \frac{1}{(1 - 0.6) + 0.6 / 1.5} = 1.25 \times
$$

求解第二问。再次代入 Amdahl 定律的公式，计算一下 k。

$$
1.67\times = \frac{1}{(1 - 0.6) + 0.6 / k}
$$

解得 $k = 3$。

前面讲了，这里所有和倍率有关的量都是时间。$k = 3$ 表示 $T_{old} / T_{new} = 3$。

原来需要的时间是 $15$ 小时，现在变成 $5$ 小时。这要求卡车的时速是 $\frac{1500}{5} = 300 \text{km/h}$。

Amdahl 定律不仅应用在系统领域。也可以指导制造商生产产品，或者学生卷 GPA。

面对刚入学新生的提问，一位久经沙场的学长说

你把体育从及格卷到优秀，对总绩点的提升可能只是 0.01！和高数没法比。

学长说的正确吗？假如大一学生一学期的学分是 30 分，体育占 1.5 学分。在 5 分制绩点中，及格对应 2，优秀对应 5。

分析一下，体育在整个学分的占比是 $\alpha = 1.5 / 30 = 0.05$。体育从及格到优秀的提升是 $k = 5 / 2 = 2.5\times$。看着很大！如果原来绩点是 4，翻 2.5 倍就爆表了！

现实很骨感

$$
S = \frac{1}{(1 - 0.05) + 0.05 / 2.5} = 1.03\times
$$

也就是说，如果你原来的绩点是 4，卷体育得到的提升是 4 -> 4.12。学长说的虽然有些夸张，但道理是正确的。

这里我们采用的比例是 $new / old$，和定义略有不同，不过只要保持一致，则在不会出问题的同时更有利于理解。

再看看把高数从良提升到优呢？（毕竟从及格到优有些不现实）

高数 6 学分，$\alpha = 6 / 30 = 0.2$。从良提升到优，相当于从 4 到 5，$k = 5 / 4 = 1.25\times$，看着没有体育那么剧烈。

$$
S = \frac{1}{(1 - 0.2) + 0.2 / 1.25} \approx 1.042\times
$$

把高数从良提升到优对 GPA 的贡献居然和把体育从及格提升到优的贡献差不多。看来高数重要的多。

不过这个例子是错误的。因为体育从 2 到 5，带来的是固定的 $(5 - 2) * 0.05 = 0.15$ 绩点提升，不是固定的比例。思考一下为什么这里无法应用 Amdahl 定律呢？

考虑 Amdahl 定律的推导过程。$Grade_{new} = (1 - \alpha)Grade_{old} + \alpha Grade_{old} / k$ 成立吗？